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高中數學知識點總結

時間：2022-04-30 12:06:43 教育

高中數學知識點總結

　　導語：數學(mathematics或maths)，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。而在人類歷史發展和社會生活中，數學也發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。數學(漢語拼音：shù xué;希臘語：μαθηματικ;英語：Mathematics)，源自于古希臘語的μθημα(máthēma)，其有學習、學問、科學之意。古希臘學者視其為哲學之起點，“學問的基礎”。

高中數學知識點總結

　　高中數學重難點

　　高中數學(文)包含5本必修、2本選修，(理)包含5本必修、3本選修，每學期學**兩本書。

　　必修一：1、集合與函數的概念 (這部分知識抽象，較難理解)2、基本的初等函數(指數函數、對數函數)3、函數的性質及應用 (比較抽象，較難理解)

　　必修二：1、立體幾何(1)、證明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夾角問題，包括線面角和面面角

　　這部分知識是高一學生的難點，比如：一個角實際上是一個銳角，但是在圖中顯示的鈍角等等一些問題，需要學生的立體意識較強。這部分知識高考占22---27分

　　2、直線方程：高考時不單獨命題，易和圓錐曲線結合命題

　　3、圓方程：

　　必修三：1、算法初步：高考必考內容，5分(選擇或填空)2、統計：3、概率：高考必考內容，09年理科占到15分，文科數學占到5分

　　必修四：1、三角函數：(圖像、性質、高中重難點，)必考大題：15---20分，并且經常和其他函數混合起來考查

　　2、平面向量：高考不單獨命題，易和三角函數、圓錐曲線結合命題。09年理科占到5分，文科占到13分

　　必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等變換)高考中理科占到22分左右，文科數學占到13分左右2、數列：高考必考，17---22分3、不等式：(線性規劃，聽課時易理解，但做題較復雜，應掌握技巧。高考必考5分)不等式不單獨命題，一般和函數結合求最值、解集。

　　文科：選修1—1、1—2

　　選修1--1：重點：高考占30分

　　1、邏輯用語：一般不考，若考也是和集合放一塊考2、圓錐曲線：3、導數、導數的應用(高考必考)

　　選修1--2：1、統計：2、推理證明：一般不考，若考會是填空題3、復數：(新課標比老課本難的多，高考必考內容)

　　理科：選修2—1、2—2、2—3

　　選修2--1：1、邏輯用語 2、圓錐曲線3、空間向量：(利用空間向量可以把立體幾何做題簡便化)

　　選修2--2：1、導數與微積分2、推理證明：一般不考3、復數

　　選修2--3：1、計數原理：(排列組合、二項式定理)掌握這部分知識點需要大量做題找規律，無技巧。高考必考，10分2、隨機變量及其分布：不單獨命題3、統計：

　　高考的知識板塊

　　集合與簡單邏輯：5分或不考

　　函數：高考60分：①、指數函數 ②對數函數 ③二次函數 ④三次函數 ⑤三角函數 ⑥抽象函數(無函數表達式，不易理解，難點)

　　平面向量與解三角形

　　立體幾何：22分左右

　　不等式：(線性規則)5分必考

　　數列：17分 (一道大題+一道選擇或填空)易和函數結合命題

　　平面解析幾何：(30分左右)

　　計算原理：10分左右

　　概率統計：12分----17分

　　復數：5分

　　推理證明

　　一般高考大題分布

　　1、17題：三角函數

　　2、18、19、20 三題：立體幾何、概率、數列

　　3、21、22 題：函數、圓錐曲線

　　成績不理想一般是以下幾種情況：

　　做題不細心，(會做，做不對)

　　基礎知識沒有掌握

　　解決問題不全面，知識的運用沒有系統化(如：一道題綜合了多個知識點)

　　心理素質不好

　　總之學**數學一定要掌握科學的學**方法：1、筆記：記老師講的課本上沒有的知識點，尤其是數列性質，課本上沒有，但做題經常用到 2、錯題收集、歸納總結

　　高一年級

　　必修一

　　第一章　集合與函數概念

　　第二章　基本初等函數(Ⅰ)

　　第三章　函數的應用

　　必修二

　　第一章　空間幾何體

　　第二章　點、直線、平面之間的位置關系

　　第三章　直線與方程

　　必修三

　　第一章　算法初步

　　第二章　統計

　　第三章　概率

　　必修四

　　第一章　三角函數

　　第二章　平面向量

　　第三章　三角恒等變換

　　(二)教學要求

　　在教學中，由于集合、函數等內容比較抽象，三角函數在高考中占據重要地位，平面向量又是高考中數學必考內容，教師在備課組協作的基礎上應注意對各章知識的重難點的講解和釋疑，減輕學生自學的壓力，增強學生學好數學的信心。

　　首先，在高中數學中，集合的初步知識以及與其它內容的密切聯系。它們是學**、掌握和使用數學語言的基礎，是高中數學學**的出發點。在教學中，應注重引導學生更好的理解數學中出現的集合語言，使學生更好的使用集合語言表述數學問題，并且可以使學生運用集合的觀點，研究、處理數學問題。因此集合的基本概念、函數等有關內容是教師重點講解的內容。

　　其次，函數作為中學數學中最重要的基本概念之一，教師應注意運用有關的概念和函數的性質，培養學生的思維能力;通過指數與對數，指數函數與對數函數之間的內在聯系，對學生進行辯證唯物主義觀點的教育;通過聯系實際的引入問題和解決帶有實際意義的某些問題，培養學生的實踐能力和創新意識。

　　第三，通過對三角函數的學**，學生將進一步了解符號與變元、集合與對應、數形結合等基本的數學思想在研究三角函數時所起的重要作用，在式子與圖形的變化中，教師應引導學生通過分析、探索、劃歸、類比、平行移動、伸長和縮短等常用的基本方法的學**，使學生在學**數學和應用數學方面達到一個新的層次。

　　第四，學**平面向量，不但應注意平面向量基本知識的講解，更要充分挖掘平面向量的工具作用，提高學生應用數學知識解決實際問題的能力和實際操作的能力，使學生學會提出問題，明確研究方向，使學生學會交流，體驗數學活動的過程，培養創新精神和應用能力。

　　第五、在學**空間幾何體、點、直線、平面之間的位置關系時，重點要幫助學生逐步形成空間想象能力，嚴格遵循從整體到局部，從具體到抽象的原則，逐步掌握解決空間幾何體的相關問題。

　　第六、要在平面解析幾何初步教學中，幫助學生經歷如下的過程：首先將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題;處理代數問題;分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何教學的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法。

　　第七、在學**算法初步、統計等內容的時候，要注意順序漸進，不可追求一步到位，特別要注意其思想的重要性。

　　高二年級

　　必修五

　　第一章　解三角形

　　第二章　數列

　　第三章　不等式

　　選修1-1

　　第一章　常用邏輯用語

　　第二章　圓錐曲線與方程

　　第三章　導數及其應用

　　選修1-2

　　第一章　統計案例

　　第二章　推理與證明

　　第三章　數系的擴充與復數的引入

　　第四章　框圖

　　選修2-1

　　第一章　常用邏輯用語

　　第二章　圓錐曲線與方程

　　第三章　空間向量與立體幾何

　　選修2-2

　　第一章　導數及其應用

　　第二章　推理與證明

　　第三章　數系的擴充與復數的引入

　　選修2-3

　　第一章　計數原理

　　第二章　隨機變量及其分布

　　第三章　統計案例

　　(二)教學要求

　　高二上

　　必修5

　　學生將在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，并認識到運用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。

　　數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型。在本模塊中，學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。

　　不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容。建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。在本模塊中，學生將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式(組)對于刻畫不等關系的意義和價值;掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題;能用二元一次不等式組表示平面區域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規劃問題;認識基本不等式及其簡單應用;體會不等式、方程及函數之間的聯系。

　　選修1—1(文科)

　　在本模塊中，學生將在義務教育階段的基礎上，學**常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，更好地進行交流。

　　在必修課程學**平面解析幾何初步的基礎上，在本模塊中，學生將學**圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用，進一步體會數形結合的思想。

　　在本模塊中，學生將通過大量實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，刻畫現實問題，理解導數的含義，體會導數的思想及其內涵;應用導數探索函數的單調、極值等性質及其在實際中的應用，感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用，體會微積分的產生對人類文化發展的價值。

　　選修2-1(理科)

　　在本模塊中，學生將學**常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量(簡稱空間向量)與立體幾何。

　　在本模塊中，學生將在義務教育階段的基礎上，學**常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，從而更好地進行交流。

　　在必修階段學**平面解析幾何初步的基礎上，在本模塊中，學生將學**圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步體會數形結合的思想。

　　在本模塊中，學生將在學**平面向量的基礎上，把平面向量及其運算推廣到空間，運用空間向量解決有關直線、平面位置關系的問題，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發展空間想像能力和幾何直觀能力。

　　高二下(文科)

　　在必修課程學**統計的基礎上，通過對典型案例的討論，了解和使用一些常用的統計方法，進一步體會運用統計方法解決實際問題的基本思想，認識統計方法在決策中的作用。

　　“推理與證明”是數學的基本思維過程，也是人們學**和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據已有的事實和正確的結論、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程。歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程，培養和提高學生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數學課程的重要目標。合情推理和演繹推理之間聯系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明，但是數學結論的正確性必須通過演繹推理或邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規則得出結論。在本模塊中，學生將通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯系與差異;體會數學證明的特點，了解數學證明的基本方法,包括直接證明的方法(如分析法、綜合法)和間接證明的方法(如反證法)，感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養成言之有理、論證有據的**慣。

　　數系擴充的過程體現了數學的發現和創造過程，同時體現了數學發生、發展的客觀需求，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充。在本模塊中，學生將在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學**復數的一些基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用。

　　框圖是表示一個系統各部分和各環節之間關系的圖示，它的作用在于能夠清晰地表達比較復雜的系統各部分之間的關系。框圖已經廣泛應用于算法、計算機程序設計、工序流程的表述、設計方案的比較等方面，也是表示數學計算與證明過程中主要邏輯步驟的工具，并將成為日常生活和各門學科中進行交流的一種常用表達方式。在本模塊中，學生將學**用“流程圖”、“結構圖”等刻畫數學問題以及其他問題的解決過程;并在學**過程中，體驗用框圖表示數學問題解決過程以及事物發生、發展過程的優越性，提高抽象概括能力和邏輯思維能力，能清晰地表達和交流思想。

　　高二下(理科)

　　微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法和手段。導數概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。在本模塊中，學生將通過大量實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，理解導數概念，了解導數在研究函數的單調性、極值等性質中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進一步學**微積分打下基礎。通過該模塊的學**，學生將體會導數的思想及其豐富內涵，感受導數在解決實際問題中的作用，了解微積分的文化價值。

　　“推理與證明”是數學的基本思維過程，也是人們學**和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴格的邏輯法則得到新的結論的推理過程。合情推理和演繹推理之間聯系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明，數學結論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規則得出結論。在本模塊中，學生將通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯系與差異;體會數學證明的特點，了解數學證明的基本方法,包括直接證明的方法(如分析法、綜合法、數學歸納法)和間接證明的方法(如反證法);感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養成言之有理、論證有據的**慣。

　　數系擴充的過程體現了數學的發現和創造過程，同時體現了數學發生發展的客觀需求和背景，復數的引入是中學階段數系的最后一次擴充。在本模塊中，學生將在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學**復數的一些基本知識，體會數系擴充中人類理性思維的作用。

　　計數問題是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們為解決很多實際問題提供了思想和工具。在本模塊中，學生將學**計數基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用，了解計數與現實生活的聯系，會解決簡單的計數問題。

　　在必修課程學**概率的基礎上，學**某些離散型隨機變量分布列及其均值、方差等內容，初步學會利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現象的方法，并能用所學知識解決一些簡單的實際問題，進一步體會概率模型的作用及運用概率思考問題的特點，初步形成用隨機觀念觀察、分析問題的意識。

　　高三年級

　　選修4-1

　　第一章相似三角形的判定及有關性質

　　第二章直線與圓的位置關系

　　第三章圓錐曲線性質的探討

　　選修4-4

　　第一章坐標系

　　第二章參數方程

　　選修4-5

　　第一章不等式和絕對值不等式

　　第二章證明不等式的基本方法

　　第三章柯西不等式與排序不等式

　　第四章數學歸納法證明不等式

　　(二)教學重點難點

　　1.認真學**“一標兩綱一本”(《課程標準》、《數學教學大綱》、《考試大綱》和課本)。重視對《考試大綱》的研究，并結合對近年高考題的認真分析，深化對高考題的認識，明確考試要求，克服盲目性，增強自覺性，更好地指導考生進行復**。

　　2.立足基礎，突出重點，這是高考試卷構成的主題。基本知識、基本技能、基本方法始終是高考試題考查的重點。在切實重視基礎知識的落實中重視基本技能與基本方法的培養。

　　3.搞好數學思想方法的'體現和發掘，發展理性思維。基本思想和方法分散地滲透在中學數學教材的各個內容之中，在平時的教學中，教師和學生把主要精力集中于數學新課的教學之中，缺乏對基本思想和方法的歸納和總結，在高考前的復**過程中，教師要在傳授知識的同時有意識地、恰當地講解和滲透數學的基本思想和方法，幫助學生掌握科學的方法，從而達到傳授知識，培養能力的目的，只有這樣，考生在高考中才能靈活運用和綜合運用所學的知識。高考提出“以能力立意命題”，正是為了更好地考查數學思想，促進考生數學理性思維的發展。因此，要加強如何更好地考查數學思想的研究，特別是要研究試題解題過程的思維方法，注意考查不同思維方法的試題的協調和匹配，使考生的數學理性思維能力得到較全面的提高。

　　4.注意數學應用問題。新教學大綱指出：要增強用數學的意識，一方面通過背景材料，進行觀察、比較、分析、綜合、抽象和推理，得出數學概念和規律，另一方面更重要的是能夠運用已有的知識將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型。解答應用性試題，要重視兩個環節，一是閱讀、理解問題中陳述的材料;二是通過抽象，轉換成為數學問題，建立數學模型。函數模型、數列模型、不等式模型、幾何模型、計數模型是幾種最常見的數學模型，要注意歸納整理，用好這幾種數學模型。

　　5.彰顯創新意識，挖掘潛在能力(以課本為主干，重點研究開放性問題，創新問題，數形結合問題等)。高考對創新意識的考查，主要是要求考生不僅僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應用這些知識和方法解決數學中和現實生活中的比較新穎的問題。數學教育的目的不單單是讓學生掌握一些知識，也不是把每個人都培養成數學家，而是把數學作為材料和工具，通過數學的學**和訓練，在知識和方法的應用中提高綜合能力和基本素質，形成科學的世界觀和方法論。因此，高考對創新意識的考查其意義已超出了數學學**，對提高學**和工作能力，對今后的人生都有重要的意義。

　　6.回歸教材本源，發揮課本功能。數學復**，任務重，時間緊，但絕不可因此而脫離教材.相反，要緊扣大綱，抓住教材，在總體上把握教材，明確每一章、節的知識在整體中的地位、作用.近年來高考每年的試題都與教材有著密切的聯系，有的是將教材中的題目略加修改、變形后作為高考題目;還有的是將教材中的題目合理拼湊、組合作為高考題的.因此，一定要高度重視教材。

　　(三)教學建議

　　高三文、理科對4—系列的選修都是在4—1,4—4,4—5中三選二。

　　選修4—1 幾何證明選講有助于培養學生的邏輯推理能力，在幾何證明的過程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含著大量的觀察、探索、發現的創造性過程。本專題從復**相似圖形的性質入手，證明一些反映圓與直線關系的重要定理，并通過對圓錐曲線性質的進一步探索，提高學生空間想像能力、幾何直觀能力和運用綜合幾何方法解決問題的能力。

　　內容與要求

　　1. 復**相似三角形的定義與性質，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理。

　　2. 證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理。

　　3. 證明相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理。

　　4. 了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關系，體會平行投影;證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓)。

　　5. 通過觀察平面截圓錐面的情境，體會給定的定理。

　　選修4—4坐標系與參數方程

　　坐標系是解析幾何的基礎。在坐標系中，可以用有序實數組確定點的位置，進而用方程刻畫幾何圖形。為便于用代數的方法刻畫幾何圖形或描述自然現象，需要建立不同的坐標系。極坐標系、柱坐標系、球坐標系等是與直角坐標系不同的坐標系，對于有些幾何圖形，選用這些坐標系可以使建立的方程更加簡單。

　　參數方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的又一種表示形式。某些曲線用參數方程表示比用普通方程表示更方便。

　　本專題是解析幾何初步、平面向量、三角函數等內容的綜合應用和進一步深化。極坐標系和參數方程是本專題的重點內容，對于柱坐標系、球坐標系等只作簡單了解。通過對本專題的學**，學生將掌握極坐標和參數方程的基本概念，了解曲線的多種表現形式，體會從實際問?

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