圓錐曲線解題技巧
在《圓錐曲線》中，阿波羅尼總結了前人(柏拉圖學派 的梅內赫莫斯為解決倍立方體問題而發現了圓錐曲線)的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉并使之系統化的工作，在此基礎上，又提出許多自己的創見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，以致后代學者幾乎沒有插足的余地達千余年。
圓錐曲線解題技巧
一、化為二次函數，求二次函數的最值
依據條件求出用一個參數表示的二次函數解析式，而自變量都有一定的變化范圍，然后用配方法求出限制條件下函數的最值，就可得到問題的解。
例1：曲邊梯形由曲線及直線，x=1，x=2所圍成，試問通過曲線，上的哪一點作切線，能使此切線從曲邊梯形上切出一個最大面積的普通梯形。
分析：先求出適合條件的一條切線方程，再求出這條切線與直線x=1，x=2的交點坐標，根據梯形面積公式列出函數關系式，再求最值。
大面積的普通梯形。
說明：如果函數解析式中含有參數，一般要根據定義域和參數的特點分類討論。
二、利用圓錐曲線性質求最值
有些問題先利用圓錐曲線的定義或性質給出關系式，再利用幾何或代數方法求最值，可使題目中的數量關系更直觀，解題方法更簡潔。
例2：已知雙曲線的右焦點為F，點A(9，2)。試在雙曲線上求一點M，使的值最小，并求這個最小值。
分析：由條件得，與互為倒數，設d為點M到對應準線的距離，可得，把問題轉化為求的最小值，點M為過A點垂直于準線的直線與雙曲線的交點。
說明：利用圓錐曲線的性質求最值是一種特殊方法，在利用時技巧性較強，但是可以避繁就簡，化難為易，使思路清晰，過程簡捷。
三、化為一元二次方程，利用判別式求最值
如果能把圓錐曲線的最值問題轉化為含有一個未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范圍，然后確定其最值。
例3：直線，橢圓C：。求以橢圓C的焦點F1、F2為焦點，且與直線l有公共點M的橢圓中長軸最短的。
分析：因為直線l與所求橢圓有公共點，可以由方程組得到一個一元二次方程，再利用判別式確定所求橢圓長軸的最小值。
解：橢圓C的焦點。
說明：直線l與橢圓有公共點，可得方程組，消去一個未知數，得到一個一元二次方程，由一元二次方程有實根的條件得，構造參變量的不等式，確定的最小值，這種解法思路清晰、自然。
四、利用不等式求最值
列出最值滿足的關系式，利用平均值不等式中等號成立的條件求最值。
例4：定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線上移動，M是線段AB的中點，求M到 y軸的最短距離。
說明：用不等式求最值有時要用“配湊法”，這種方法是一種技巧，要在訓練過程中逐漸掌握。在使用平均值不等式求最值時要滿足三個條件：①每一項都要取正值;②不等式的一邊為常數;③等號能夠成立。
五、利用函數的性質求最值
有些圓錐曲線的最值問題，可以先轉化成函數問題，然后利用函數的單調性、有界性等性質求最值。
說明：本題把求圓錐曲線最值問題轉化為求三角函數的最值問題，然后利用的有界性得出結果。
六、利用平面幾何的有關知識求最值
有些圓錐曲線求最值問題可以轉化為平面幾何問題，借助一些平面幾何知識求最值。
例6：已知橢圓，點A(4，0)是它的右焦點，B(2，2)是橢圓內一點，M是橢圓上一動點，求的最大值和最小值。
說明：有些圓錐曲線求最值問題，如果用代數方法求解比較復雜，可以考慮用幾何知識求解，其中“三角形兩邊之和大于第三邊”是求最值常用的定理。
圓錐曲線最值問題從方程與曲線著手，反映了數學問題中的數與形的密切關系，這類問題涉及的數學知識較多，解題方法靈活。因此，求圓錐曲線最值問題能促進數學知識的融會貫通，也能使數學能力得到全面訓練。
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