不等式的證明教案
在平日的學習、工作和生活里，大家都不可避免地要接觸到證明吧，證明是證明某人的身份、經歷或某件事情的真實情況時所使用的一種憑證。一般證明是怎么起草的呢？以下是小編整理的不等式的證明教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。
不等式的證明教案1
目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。
過程：
一、復習：
1．不等式的'一個等價命題
2．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論
二、作差法：（P13—14）
1． 求證：x2 + 3 > 3x
證：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a, b, m都是正數，并且a < b，求證：
證：
∵a,b,m都是正數，并且a 0 , b - a > 0
∴ 即：
變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？
3． 已知a, b都是正數，并且a b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)
= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正數，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4． 甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？
解：設從出發地到指定地點的路程為S，
甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2，
則： 可得：
∴
∵S, m, n都是正數，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
從而：甲先到到達指定地點。
變式：若m = n，結果會怎樣？
三、作商法
5． 設a, b R+，求證：
證：作商：
當a = b時，
當a > b > 0時，
當b > a > 0時，
∴ （其余部分布置作業）
作商法步驟與作差法同，不過最后是與1比較。
四、小結：作差、作商。
五、作業： P15 練習。
P18 習題6.3 1—4。
不等式的證明教案2
在前兩節課的研究當中，學生已掌握了一些簡單的不等式及其應用，并能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關系，掌握了不等式的一些簡單性質與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學習了二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題。本節課的研究是前三大節學習的延續和拓展。另外，為基本不等式的應用墊定了堅實的基礎，所以說，本節課是起到了承上啟下的作用。本節課是通過讓學生觀察第２４屆國際數學家大會的會標圖案中隱含的相等關系與不等關系而引入的通過分析得出基本不等式，然后從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應用,進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念。教師應作好點撥，利用幾何背景，數形結合做好歸納總結、邏輯分析，并鼓勵學生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學生對數學知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發學生的學習興趣，
根據本節課的教學內容，應用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發、探究式教學并使用投影儀輔助。
教學重點
1、創設代數與幾何背景，用數形結合的思想理解基本不等式；
2、從不同角度探索基本不等式的證明過程；
3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路。
教學難點
1、對基本不等式從不同角度的探索證明；
2、通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路。
教具準備 多媒體及課件
三維目標
一、知識與技能
1、創設用代數與幾何兩方面背景，用數形結合的思想理解基本不等式；
2、嘗試讓學生從不同角度探索基本不等式的證明過程；
3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結論，或由結論到條件。
二、過程與方法
1、采用探究法，按照聯想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發式教學；
2、教師提供問題、素材，并及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用；
3、將探索過程設計為較典型的具有挑戰性的問題，激發學生去積極思考，從而培養他們的數學學習興趣。
三、情感態度與價值觀
1、通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數學觀點進行歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學，培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維習慣；
2、學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養學生嚴謹的思維習慣，主動、積極的學習品質，從而提高學習質量；
3、通過對富有挑戰性問題的解決，激發學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態度，同時去感受數學的應用性，體會數學的奧秘、數學的簡潔美、數學推理的嚴謹美，從而激發學生的學習興趣。
教學過程
導入新課
探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？
（教師用投影儀給出第24屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情）
推進新課
師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？
（沉靜片刻）
生 應該先從此圖案中抽象出幾何圖形。
師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學能在黑板上畫出這個幾何圖形？
（請兩位同學在黑板上畫。教師根據兩位同學的板演作點評）
（其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀。此時教師用投影片給出隱含的規范的幾何圖形）
師 同學們觀察得很細致，抽象出的幾何圖形比較準確。這說明，我們只要在現有的基礎上進一步刻苦努力，發奮圖強，也能作出和數學家趙爽一樣的成績。
（此時，每一位同學看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節課的學習中來）
［過程引導］
師 設直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關系呢？
生 顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和。
師 一定嗎？
（大家齊聲：不一定，有可能相等）
師 同學們能否用數學符號去進行嚴格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？
生 每個直角三角形的面積為，四個直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。
師 這位同學回答得很好，表達很全面、準確，但請大家思考一下，他對a2+b2≥2ab證明了嗎？
生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達一下而已。
師 回答得很好。
（有的同學感到迷惑不解）
師 這樣的敘述不能代替證明。這是同學們在解題時經常會犯的錯誤。實質上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明。
（有的同學竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）
師 請同學們繼續思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個完全平方數，它是非負數，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。
師 同學們思考一下，這位同學的證明是否正確？
生 正確。
［教師精講］
師 這位同學的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據實數的基本性質比較兩個代數式的大小是否一樣。
生 實質一樣，只是設問的形式不同而已。一個是比較大小，一個是讓我們去證明。
師 這位同學回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的.數學研究當中，還有另一種“比較法”。
（教師此處的設問是針對學生已有的知識結構而言）
生 作商，用商和“1”比較大小。
師 對。那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學們課后去思考，在解決問題中自然會遇到。
（此處設置疑問，意在激發學生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生）
［合作探究］
師 請同學們再仔細觀察一下，等號何時取到。
生 當四個直角三角形的直角頂點重合時，即面積相等時取等號。
（學生的思維仍建立在感性思維基礎之上，教師應及時點撥）
師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過程能否去說明。
生 當且僅當(a-b)2=0，即a=b時，取等號。
師 這位同學回答得很好。請同學們看一下，剛才兩位同學分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致。
（大家齊聲）一致。
（此處意在強化學生的直覺思維與理性思維要合并使用。就此問題來講，意在強化學生數形結合思想方法的應用）
板書：
一般地，對于任意實數a、b，我們有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。
［過程引導］
師 這是一個很重要的不等式。對數學中重要的結論，我們應仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內涵與外延。只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應手，也不會出錯。
（同學們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時，教師應及時點撥、指引）
師 當a＞0,b＞0時，請同學們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。
生 完全可以。
師 為什么？
生 因為不等式中的a、b∈R。
師 很好，我們來看一下代替后的結果。
板書：
即 (a＞0,b＞0)。
師 這個不等式就是我們這節課要推導的基本不等式。它很重要，在數學的研究中有很多應用，我們常把叫做正數a、b的算術平均數，把ab叫做正數a、b的幾何平均數，即兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。
（此處意在引起學生的重視，從不同的角度去理解）
師 請同學們嘗試一下，能否利用不等式及實數的基本性質來推導出這個不等式呢？
（此時，同學們信心十足，都說能。教師利用投影片展示推導過程的填空形式）
要證：，①
只要證a+b≥2，②
要證②，只要證：a+b-2≥0，③
要證③，只要證：④
顯然④是成立的，當且僅當a=b時，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式。
（此處以填空的形式,突出體現了分析法證明的關鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學生，讓學生在探究的基礎上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）
［合作探究］
老師用投影儀給出下列問題。
如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DD′，連結AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？
（本節課開展到這里，學生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎）
［合作探究］
師 同學們能找出圖中與a、b有關的線段嗎？
生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得。
生 由射影定理也可得。
師 這兩位同學回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？
生表示半弦長，表示半徑長。
師 半徑和半弦又有什么關系呢？
生 由半徑大于半弦可得。
師 這位同學回答得是否很嚴密？
生 當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。
課堂小結
師 本節課我們研究了哪些問題？有什么收獲？
生 我們通過觀察分析第24屆國際數學家大會的會標得出了不等式a2+b2≥2ab。
生 由a2+b2≥2ab,當a＞0，b＞0時，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進而用不等式的性質，由結論到條件，證明了基本不等式。
生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式。
（此處，創造讓學生進行課堂小結的機會，目的是培養學生語言表達能力，也有利于課外學生歸納、總結等學習方法、能力的提高）
師 大家剛才總結得都很好，本節課我們從實際情景中抽象出基本不等式。并采用數形結合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當且僅當a=b時等號成立。在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學們要注意數形結合的思想在解題中的靈活運用。
布置作業
活動與探究：已知a、b都是正數，試探索, ,,的大小關系，并證明你的結論。
分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達式的大小關系，再由不等式及實數的性質證明。
（方法二）創設幾何直觀情景。設AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。
板書設計
基本不等式的證明
一、實際情景引入得到重要不等式
a2＋b2≥2ab
二、定理
若a＞0，b＞0
課后作業：
證明過程探索：
不等式的證明教案3
一、教學目標
1、掌握分析法證明不等式；
2、理解分析法實質??執果索因；
3、提高證明不等式證法靈活性.
二、教學重點
分析法
三、教學難點
分析法實質的理解
四、教學方法
啟發引導式
五、教學活動
（一）導入新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評、
（學生活動）回答和思考教師提出的問題、
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法、（板書課題）
設計意圖：復習已學證明不等式的方法、指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式、
（二）新課講授
嘗試探索、建立新知：
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評、幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系、投影分析法證明不等式的概念、
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知、
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的`不等式、
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立、就是分析法的邏輯關系、
[投影]分析法證明不等式的概念、（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究、建立新的知識；分析法證明不等式、培養學習創新意識、
例題示范、學會應用：
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題、
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證、
不等式的證明教案4
教學目標
1．掌握分析法證明不等式；
2．理解分析法實質——執果索因；
3．提高證明不等式證法靈活性.
教學重點分析法
教學難點分析法實質的理解
教學方法啟發引導式
教學活動
（一）導入新課
（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評．
（學生活動）回答和思考教師提出的問題．
［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）
設計意圖：復習已學證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式．
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評．幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系．投影分析法證明不等式的概念．
（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知．
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立．就是分析法的邏輯關系．
[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）
設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究．建立新的知識；分析法證明不等式．培養學習創新意識．
【例題示范、學會應用】
（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題．
（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．
例1求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法．
證明：（見課本）
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難．此例中，我們很難想到從“”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此．
例2已知：，求證：（用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？
［投影］證法一：因為，所以、去分母，化為，就是．由已知成立，所以求證的不等式成立．
證法二：欲證，因為
只需證，即證，即證
因為成立，所以成立．
（證法二正確，證法一錯誤．錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤．）
[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：
（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）
分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反．②用分析法證明時要注意書寫格式．分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：
要證命題B為真，只需證明為真，從而有……
這只需證明為真，從而又有……
……
這只需證明A為真．
而已知A為真，故命題B必為真．
要理解上述格式中蘊含的邏輯關系．
[投影]例3證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．
［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形邊長為，截面積為，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位．掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系．靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力．
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正．點評練習中存在的問題．
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．
【字幕】練習1．求證
2．求證：
設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學．
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的'解題方法．
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記．
1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的．
2．用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式．
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識．
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．
本節課主要學習了用分析法證明不等式．應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質．另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用．理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面．有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程．
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．
（四）布置作業
1．課本作業：P174、5．
2．思考題：若，求證
3．研究性題：已知函數，若、，且證明
設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題．
（五）課后點評
教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程．本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決．一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務．總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態．
本節課練中有講，講中有練，講練結合．在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．
在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構．
作業答案：
思考題：
因為，故，所以成立．
研究性題：令，則：
故原不等式等價于
由已知有xxx。所以上式等價于，即。所以又等價于．因為，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實際解釋
題目：不等式：是正數，且，則。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即個單位溶液中含有個單位的溶質，其濃度小于加入個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。
分析與解
1．先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設地板面積為平方米，窗戶面積為平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2．是正數，不等式可以推出，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3．電阻串并聯。電阻值為、的電阻，串聯電阻為，并聯電阻為，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式，即
說明許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。
不等式的證明教案5
教學目標：
1．進一步熟練掌握比較法證明不等式；
2．了解作商比較法證明不等式；
3．提高學生解題時應變能力.
教學重點：
比較法的應用
教學難點：
常見解題技巧
教學方法啟發引導式
教學活動
（一）導入新課
（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評．
（學生活動）思考問題，回答．
［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2．比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？
3．用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形．在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書課題）
設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容．
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評．
（學生活動）嘗試解決問題．
[問題]
1．化簡
2．比較與（）的大小．
（學生解答問題）
［點評］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化．
②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小．
設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系．
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程．
（學生活動）分析，研究問題．
［字幕］例題3已知 a ， b 是正數，且，求證
［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形．
證明：（見課本）
［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范．
［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學 思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏．
［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點．甲有一半時間以速度 m 行走，另一半時間以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點．
[分析]設從出發地點至指定地點的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為，要回答題目中的問題，只要比較、的大小就可以了．
解：（見課本）
［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題．要培養自己學數學，用數學的良好品質．
設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養學生應用知識解決實際問題的能力．
【課堂練習】
（教師活動）教師打出字幕練習，要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題．
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．
［字幕］練習：1．設，比較與的大小．
2．已知，求證
設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調節課堂教學．
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．
1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．
2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．會用分類討論的方法確定差式的符號．
4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答．
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學 思想與方法．
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．
本節課學習了對差式變形的.一種常用方法因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題．
通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力．
設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學 思想方法．
（四）布置作業
1．課本作業：P17 7、8。
2，思考題：已知，求證
3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力．
（五）課后點評
1．教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動．
2．教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用．例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用
不等式的證明教案6
教學目標
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
（3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣．
教學建議
（一）教材分析
1．知識結構
2．重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當的證明方法．
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立．
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．
由于，因此，證明，可轉化為證明與之等價的．這種證法就是求差比較法．
由于當時，，因此，證明 可以轉化為證明與之等價的 ．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式時，一定要注意的前提條件．
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”．
其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少．
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式．或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等． 總之．能夠判斷出差的符號是正或負即可．
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明．
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．
②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．
③綜合法證明不等式的邏輯關系是：
…．
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵．
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．? 主站蜘蛛池模板： 密宗双修每天四次| 我爱hk开心万岁下载| 王多鱼在线观看免费全集高清中文| 大敌当前电影| 银河护卫队2百度云资源| 胸部按摩小电影| 原振侠全集| 大内密探零零发电影| 《父女快乐》电影| 芝麻胡同免费观看全集剧情| 新少年杨门虎将| 《乳房按摩》高清观看| 履霜坚冰至| 孤舟电视剧36集全免费播放| 电视剧无盐女| 加勒比影音先锋| 落魄贵族琉璃川全集观看| 恨锁金瓶在线观看3| 塔日酒店在线观看完| 人走茶凉什么意思| 斗龙战士2星龙圣域| 赛伦渔夫的老婆意大利| 《快乐到死》电影| 爱我几合完整版免费观看| 练气十万年| 最新泰剧大全| 落花如梦| 危情瘾难耐 电影| 毒医肥尸| 岳云鹏的歌曲| 女海盗在线观看| 田野上的白发 阅读答案| 格斗之王2| 反打镜头| 男生和女生一起愁愁愁免费观看全集高清完整版电视剧 | 关中往事| 《玉女心经之阴阳和合》电影免费观看| 哎呀我愿意全集| 星空在线观看全集免费高清| 相亲2下载| id002最经典热门电影| 义姐是不是良喂养动漫第2季免费观看 | 中国直销论坛| 《丛林激情》男女主| 黑寡妇第2| 没落贵族琉璃川| 墨脱县| 阿西门的街| 美丽妻子替丈夫还债电影完整版免费 | 京剧猫第五季之落叶归根免费观看| 空调维修工的艳遇| 无人区日本电影在线观看| 姐妹牙医电影完整版在线观看| 快乐至死| 一马换三羊剧情介绍| 欢迎光临全集免费观看| 熊孩子惨案| 电影《需要爸爸的种子》演员表| 巴黎恋人国语版全集| 没了丈夫和上司免费观看所有电影| 世界上最大的一场暴雨| 《特殊飞行》在线观看| 东北警察故事| 一口气看完凡人修仙传| 牙医姐妹在线完整播放电影| sdde-403| 天海翼女教师电影| 一线生机 电影| 与老公上司偷情免费看| 善良的岳母娘| 爱的代价 原唱| 陪你一起老歌词| 熊出没之重返地球免费观看完整版 | jizz女学| 偿还债务的麦子完整版| 电视剧《装台》| 《法国空乘6》| 我的妹妹哪有这么可爱| 美食的俘虏374| 黑客帝国2| 母亲4高清| 麦乐迪满天星HD版| 小偷家族电影观看完整版| 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